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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 hTT:L =&k  
+(joCp~59  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Yb Yo^}  
yws12J!`  
　　1、三角函数本质： 02g8j45  
5c@{kV[(w  
　　三角函数的本质来源于定义 G)fu]b*7b0  
x<&$y2  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 0DYbkOzp  
)?Wiay{  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 .TBpmS  
|5T?]1+  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： RH8dd"fb^  
8/w7,oq"  
　　推导： =^[vGQY'48  
7DJnxQT_  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ?y\~P}a  
<aSNT6tg<  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 8N&3cWz}9  
9~RkkO  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) tnX$X%SA  
HFvi?X  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 [f\/7~7  
6DBA9t  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） /Q6%dD$*='  
2RD^ rS  
　　[1] l=CNGQ^f  
*F>zRYJ_  
　　两角和公式 6|5fv\   
T):FPvU?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB OxKs3SKc3  
{kc2\9s  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  EL%okKF  
kwqFNRn-  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB g$<T  8<  
'kfKW2,)  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB bbV  
LymUb3_  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) B 841/ /}  
!noIsD .:Y  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) c.ie(3 gj  
9d+ @3X  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  TM/ _/5J6i  
Ev}xR%sh  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) g y@?`{  
@@|Mpi  
倍角公式 :B*K?Zo  
YD w3 yz  
　　Sin2A=2SinA•CosA 'OuS09  
J\1H8 <V  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 *7.u(ku"w  
Vh6&5X  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） |^.(R"5  
,}V%\84c  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） <){La '  
TvWNU  
三倍角公式 Q )0)  
t)z/\6 j  
　　 JHdFfc\z  
2T)&=?kO  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ?'"Q/0n  
)~J;>A"0  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) s(=w<C[@PZ  
T`n[gWiU-  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) uGQxw^R  
|= \brT  
三倍角公式推导 "=>P;WF  
~a >w~  
　　sin3a w7\a4'5  
HGo$XNW  
　　=sin(2a+a) <mAj8# y  
/ U `pB#$z  
　　=sin2acosa+cos2asina @c5,OK8fP  
H;b 73D3  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina <|x>`v  
v0BELgo7  
　　=3sina-4sin³a W<632Y}F  
QjG[+Q  
　　cos3a s],SnUbCR  
A?Yc#0A  
　　=cos(2a+a) q4r )SI  
U_k`])  
　　=cos2acosa-sin2asina ]0? N~>  
C) 9^STZ  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa jlw*JTL  
HxX?%-  
　　=4cos³a-3cosa 1=pbrjq  
nd}FJXq_  
　　sin3a=3sina-4sin³a >n{( x*  
M35bZlU  
　　=4sina(3/4-sin²a) t7,vu*oD  
q/9.NFpI  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] nv5mifrT"  
fcnVnRHY  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) _SgZ<C  
j)J[Jt8  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =]HMjR4N  
a\7iw{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #k_`fJ"P  
=wg@<P'Q  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) mO0BYX-  
h={ac?lB0  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 'TY=f*CT=  
"qQ<F;IJ#  
　　=4cosa(cos²a-3/4) "*dAOM_  
BC?[ -  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] X #myI4-  
C;9%Ec  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 0q{bOWt3_B  
FQDl2P $  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ~@w <<S  
)hJUm<`6  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}  31-G%  
@!j*j!C'@  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) f0H,sPm}t  
3 lJ6<aG9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] *<=$N[6\  
oMKka@BI  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] -o!t40_2G  
4q(=~#63D  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) xO& 11a  
cGFsu6,G  
　　上述两式相比可得 w!b2WS0  
kQQ\M  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Dw1GVL9  
6#-m'G5o  
半角公式 !~ Et\;[^a  
O^!z!\3{v.  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); aK TA^m  
=-gea  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]Xo7C7#  
dV0K!_  
和差化积 M+[ <8[.  
?zRsF1("G  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] gA !b  
rZfP  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] >iT &lL  
3 d=x N  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] $/U)sp#|;  
v0CwYF mX>  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Rz&an1  
p|G/gC($  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  t+ lB  
Zvi,PpI"  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) Aj\O+r A,l  
cdK1J| (  
积化和差 n=<$e\P:Kz  
}@iRVI?K  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n%uv &['_  
9 (%HMd  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] aR2[>0N:Q  
!te&w  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Pm){ m-`  
d.i_ID  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ^FA4dg42T  
Bv,ThD@'Y  
诱导公式 Ui[ ?jn  
7v/g GF  
　　sin(-α) = -sinα >P_,tKm  
?q 4Da  
　　cos(-α) = cosα Dc-Qi <Six  
i, DJ>v n  
　　sin(π/2-α) = cosα 0kOB!!q%u  
:R?mdJu  
　　cos(π/2-α) = sinα v6<RVwW1Z  
nfb]tAAx;  
　　sin(π/2+α) = cosα Fx vyE m  
058R50@  
　　cos(π/2+α) = -sinα s3|3O$wT$  
RDNSc5  
　　sin(π-α) = sinα Tz/D'4pJe  
~n[-GeL  
　　cos(π-α) = -cosα ~'0 wv0H  
}V-8[ \~&  
　　sin(π+α) = -sinα rmrK0&@  
$CWV_  
　　cos(π+α) = -cosα 6u"7qL0,n  
#+8 ';w  
　　tanA= sinA/cosA Wiif8u  
gi<WR6=XR  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 9j1x:dzQb  
!m._$%  
　　tan（π/2－α）＝cotα y[52;y oNY  
^ug7@[e<k  
　　tan（π－α）＝－tanα Vs ~:S:b  
qgj18d=B}  
　　tan（π＋α）＝tanα m2tXeG  
9l^x<(q[>  
万能公式 @@#lPH>f,v  
E2d1@ w]&  
　　 |,0n^a  
V Q2f,s-  
其它公式 1{tk^q)4  
yJIU8l^e  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 inq @9]X4  
I0$_lV%nTQ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 F$j;V4  
6MI\A)b   
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 DE>()Tk  
8aWH{U<n>  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 K$U Mn!_  
4n(*+kT  
　　对于任意非直角三角形,总有 C`S9Q| _  
m)Z= oW++  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 9vl$t6  
tR/^NAaB  
　　证: ,Th&H[  
Jh!h'Ri?;  
　　A+B=π-C 8 6Xo+d`  
9j( `  
　　tan(A+B)=tan(π-C) v/@NzwP7  
5`V7s9%%t  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) &|j2Y/)=Z  
" 3&+-X  
　　整理可得 _z' -/{.Y  
.dFMEY  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC G7\>gB5Q$  
85U wS  
　　得证 )6t$KG0  
ja?q%]2t+  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 )Rw1Xok 7}  
Wr)0cW7  
其他非重点三角函数 Ac5@m~r?  
GHN}#d  
　　csc(a) = 1/sin(a) c?P7NX}J  
*~" =BF|  
　　sec(a) = 1/cos(a) *>yCc.  
d J{N 5  
　　 Q]vd_G  
AW<l_  
双曲函数 8K<E'ZS0  
D.L`4mttU  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 o[CJ@Q:s  
6qW6Ix`  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8XEO. 4!  
<ZDUGa:  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 0 w F]  
ie91gd:9_  
　　公式一： ^`@p H C#~  
90pM!u#N  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： k_' `"pMk|  
62p4C3BeI  
　　sin（2kπ＋α）= sinα )O:{IK)hB  
,xP<%%f %  
　　cos（2kπ＋α）= cosα =q b i  
9AOett  
　　tan（kπ＋α）= tanα xW&kXa`uUn  
:NBaWg  
　　cot（kπ＋α）= cotα :Y~0a1  
Gj% %6+G  
　　公式二： Cz F7   
Ea, m nvc  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： R$bg!/6gZ  
6r"^D<U  
　　sin（π＋α）= -sinα QSm1=  
/#6AXN?  
　　cos（π＋α）= -cosα q`q@xr4_o  
XoCF K(  
　　tan（π＋α）= tanα 12{q0en  
MFm4if$}A  
　　cot（π＋α）= cotα &1>-9z6  
8/WYb4>   
　　公式三： (Od/vZ|I*  
v;p84pt  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： /g=mSHPv`  
Dl2N<l&1e  
　　sin（-α）= -sinα 9fJrq,]  
=_ Q*H-r)  
　　cos（-α）= cosα ;ARq&Yy,F  
|sRjs  
　　tan（-α）= -tanα 9"6K <  
7{ Rg`jW  
　　cot（-α）= -cotα /L5=L_3  
0u $i>>j5  
　　公式四： Whd_'z_&  
x!(tD#|nwC  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： !xk4&"e  
f\h:r!l-<  
　　sin（π-α）= sinα +>q ^W>=  
pXAQ\ku  
　　cos（π-α）= -cosα 9hrz]*YFe  
/xF6 nYW  
　　tan（π-α）= -tanα +WvX~n&^#  
0<jMd/P  
　　cot（π-α）= -cotα i<8iSAG  
Fd+g[B=7  
　　公式五： gQ  ~  
'zPO;:UVp  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： N&i@T=`Yg  
9l[au)  
　　sin（2π-α）= -sinα h}qd6\A=1  
FI~#=B  
　　cos（2π-α）= cosα hIM>Y{ %  
g -^^Sp  
　　tan（2π-α）= -tanα ^DoP4zM  
HJL=4{{k  
　　cot（2π-α）= -cotα <20T/xL  
[{4ONo+kri  
　　公式六： H/[ ;%P  
/5H:ZIRg.T  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： O [<@,T0N#  
>McU <8 Z  
　　sin（π/2+α）= cosα P pg&N(<  
dO@l2ThD  
　　cos（π/2+α）= -sinα eqg>;y}#  
SAR}vJ  
　　tan（π/2+α）= -cotα /;gQl%zN  
6TC.E\j4  
　　cot（π/2+α）= -tanα B$/*l 2  
Igrl=a  
　　sin（π/2-α）= cosα )(D1 @>%  
b|!Z u  
　　cos（π/2-α）= sinα 8>hpdh+  
ro'/lTE*  
　　tan（π/2-α）= cotα ZR}1*  
Hhw:ahK7  
　　cot（π/2-α）= tanα =C +G`e4  
4u<;0 v>  
　　sin（3π/2+α）= -cosα kaI!G8   
U(6|'GylLr  
　　cos（3π/2+α）= sinα \!C^ze5  
scT~e\t  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^Y >G ^,  
[Z\ e  
　　cot（3π/2+α）= -tanα QLwGU;  
hZ8wy  
　　sin（3π/2-α）= -cosα hN[J 8HSM  
2mM8WFh}=  
　　cos（3π/2-α）= -sinα K|pE4Do  
5-8@ -N  
　　tan（3π/2-α）= cotα Y\vG_/bZ/$  
/\oC~?)Jg  
　　cot（3π/2-α）= tanα 6TQK}T M  
x<,K5?7  
　　(以上k∈Z) 2f;[z3AtW  
bR L@a"-  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 mG/<A":  
8C=C4dS|  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = uOog~F@  
h<![ O_w!\  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 1]>*>_Lu  
s>.Tb#?  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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