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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 KvPkuq&,  
X}.|bP  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. C~R=bnW.  
c$xKSD'  
　　1、三角函数本质： &&4n?{(k  
}I!al5NGB  
　　三角函数的本质来源于定义 n@xb.v  
6~-cV5  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 v?Ste  
Mtl$$[)4  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 x{%=t{24  
t;~h(tk  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ;?k|*06  
f/m[W{r  
　　推导： s*#H>g@U  
UM:[3|  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 IMu7vU['1A  
RbU,+-,R  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) By0h"t6\  
wjX[[ ;  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) C>TNk_q  
aOI  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 SS+?_7  
Rlg~j4>NK  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） _B:<mB4_3  
>U]%#A%{  
　　[1] {}^mf,Z[  
v18?'YF  
　　两角和公式 ESW~;'pD  
FU+O /?O  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB Q:|27 #Z  
FylpEbCN  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  BkNoG0Q  
z8|fam3F  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB HKM <(;  
]cJg)&O9~  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ;@3S `5fm  
3irpU  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Z^J KHCh  
EPD/=<"b  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) {u+FRx(  
m %6(#-  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }}]\5ZG  
*X*kJ  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 8Rjvy.K(Z  
LE9(3vA(8  
倍角公式 -u,wk#0Uj  
?F[.,WLh  
　　Sin2A=2SinA•CosA :"-^NY5mr'  
aDY\ ?g6  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 N1+(ie:j~B  
P=I::woHt  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） /I;zMBl6>  
h%{ky%_  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） O@'l)%  
h;J s\vy  
三倍角公式 h6sf^ZP  
guOO(.s  
　　 dtEVJq4BE~  
0^GPS t+  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Ut9=eT*  
QfXLS\  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) @G)Lg5[(N  
BwoFe7c  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ht1c !_[8X  
6{cPp1&6  
三倍角公式推导 6Q<S5?./'  
/@9V`Wbf  
　　sin3a >wCD~62  
[A E{a  
　　=sin(2a+a) ([da#8[6~  
~@>5Q?6v  
　　=sin2acosa+cos2asina 6$)`@[n  
h1.Sa  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina \ `,By)6  
USPsH9|~  
　　=3sina-4sin³a qz"-3.Y  
G]3eww%u  
　　cos3a e0Zpv#s0  
@O0-~_o0  
　　=cos(2a+a) z~BP#,iu  
<yMK >  
　　=cos2acosa-sin2asina 4Brr( fz  
bxGm68w  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa QvK7`A  
%ZC ^Z*vt  
　　=4cos³a-3cosa /HWn!Nd^V  
D {Q}1ai  
　　sin3a=3sina-4sin³a sU!\ u  
iiDK&4eq  
　　=4sina(3/4-sin²a) )7B3.$H  
gpnv#W  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] x ?.&%5  
?#|SEnW8  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) crJ['o+  
.3ak<iW  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 3 6 X  
O` c`6O  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] @_AO#U`  
,:j/q8O{#h  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <M*B[iV  
;xU{/ 8%{  
　　cos3a=4cos³a-3cosa e82\qvV  
AV0>bQ|  
　　=4cosa(cos²a-3/4) I M3^|VhY7  
GDZ #'K.'\  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] .{*I+XqH}  
4?f]K%"I  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ,5/Ap<ea  
%m=Q ]wWA  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Ija0a <  
kD5=B6  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =[, <eY  
rBllpKZqn  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) xXFK}4_}\9  
zvX\[W9  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] GH p^N6"  
uPXj6Rkc  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] f4@cs4  
7v%CN[&cCm  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) fNb(Z0*~Z  
g21Ls})  
　　上述两式相比可得 o~NqZdp4x7  
og?, \ c  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Xn{Gy~V1N>  
V]7wk#  
半角公式 -"yEWl}(  
Rb<'72T  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); s\3+\R@h_  
B5sr;]e#  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. 2N68r)7L  
sm&]GM[&  
和差化积 Y.&]d=YA  
?*gVuI%  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] JuMnF_3  
bI`d$Q.  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S0v 6IP  
fAhOH  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ~2j3f]qz5P  
y*g2P&  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] IONhUptq  
^D*`<zxz  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ~C@!7Ds  
FO>3+xt ]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) q/kSi)N:=p  
=D# u>|  
积化和差 xmcX}j7c  
, dw.#B  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 0&VPcw{ (  
5]SL'D8  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Sr5UN L  
}9 63X{ X  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] G_;BTHo*  
G /? 3lqo  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ,a/%Z"dt  
N3?Mi  
诱导公式 xV"e$<"}*|  
XjK=8$@->  
　　sin(-α) = -sinα J2PiD|o4n  
*3B7iH@mt  
　　cos(-α) = cosα S?h0KE  
kP2\  
　　sin(π/2-α) = cosα mNlNC"S  
jb(%mCm=~  
　　cos(π/2-α) = sinα ],P8lk:(g  
m3@E,>&  
　　sin(π/2+α) = cosα 3d~{cH^[  
|NEjWD  
　　cos(π/2+α) = -sinα ;Z LvdY  
"mAJ:mS  
　　sin(π-α) = sinα s8f'xq/'RJ  
>l7\z?aN*e  
　　cos(π-α) = -cosα |D|wd Ec-  
uYae077  
　　sin(π+α) = -sinα GR(;-45  
'"V&'`F  
　　cos(π+α) = -cosα 2??=/Qx3  
uyGAS.17;  
　　tanA= sinA/cosA ^vqM?0F  
Vw 9Q   
　　tan（π/2＋α）＝－cotα n^/z.5`h  
i]+09\{K  
　　tan（π/2－α）＝cotα "PZ38zTzG  
|?>,z*-  
　　tan（π－α）＝－tanα +KPO.{63  
k y{ry-%W  
　　tan（π＋α）＝tanα ^m")jF~a  
!~a z>Qrp  
万能公式  b+Ow  
W[i/)JXJ(  
　　 cQ&U\L$wG  
H ~Oq\A^<h  
其它公式 {`S ~!  
*To>L  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 $,,DTq(  
8{SRfxh  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 7"jf.m  
%dI'ZE  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Y%n!_"B'  
Xt 4>j  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 0Hwin?r  
eX< zc`  
　　对于任意非直角三角形,总有 !4,k{;+  
A+O('64*  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 7Cen-p6H\  
p!H{-Jfni  
　　证: 8nZa* dY&  
} *yVE  
　　A+B=π-C 8a?jt"J$I  
P/YdDh  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 2nAL mbiR  
+qw.W`  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) |aIcT p  
9 J!;*  
　　整理可得 pG=2UH-&  
~"N!g}4?!,  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC GIokS.qpl/  
D//J~X  
　　得证 ]@A^QS.  
!) e+kq  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 HO/E{Vem  
>DOAFm:Z6  
其他非重点三角函数 kFzE7K!  
,~X,ANY?  
　　csc(a) = 1/sin(a) --\|7}=  
6%5 ],hs_  
　　sec(a) = 1/cos(a) ?Y *8bc  
Z[}&AE<J'  
　　 ,|e =\6Q  
pwzW=  
双曲函数 `_MD"/G3  
6FWO6U@  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 iZ6(I  
<a~d/ 'R  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 x w)${%W  
Ov3Qs1 m  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) wL_ h1zw  
Zpj<4i7B  
　　公式一： ,H_r  
<GkK3S-  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： r[7\  
?!1mM&~o  
　　sin（2kπ＋α）= sinα <Y= -O4  
.u~>FB%  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 4`xpC;  
cK[% r<  
　　tan（kπ＋α）= tanα ? C("5"Q7P  
U%8|{?6  
　　cot（kπ＋α）= cotα qV2 yH  
<F7RYm  
　　公式二： 6>a M^@  
g _%c{B]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： cOIgZvJ q  
mtE|cw18<  
　　sin（π＋α）= -sinα ^a(,f*{~  
c{C*m`  
　　cos（π＋α）= -cosα o Q 1\f&<  
8 V f2WPdB  
　　tan（π＋α）= tanα PYC\"xmy  
Ufp@ 3DQ  
　　cot（π＋α）= cotα -s:!SjXxkM  
#Vuhh'+07&  
　　公式三： M!L;`RE  
SL;5A{oL+  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： h8*x<J5,  
mk9X^QU<1  
　　sin（-α）= -sinα }!hnH-N_I  
5;X_'t   
　　cos（-α）= cosα kyu&PSR m  
v~m+';x  
　　tan（-α）= -tanα R9.2Nd\&0  
I+y?`]9s;  
　　cot（-α）= -cotα *W29Slv3  
q)$M]xhR  
　　公式四： tN8CGghC  
z]v\]1[$  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： +s*J "lI3  
ZI)R5  
　　sin（π-α）= sinα UwAt ?WO  
L:oZdkbZlj  
　　cos（π-α）= -cosα 8q z'Wf  
WH5e}y  
　　tan（π-α）= -tanα E& ySw  
|%DN{N V  
　　cot（π-α）= -cotα (w('J#L.d  
"`i\q-? a  
　　公式五： ahph968r  
~J%a'[C$  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： <[}F ~w  
@#'?X  
　　sin（2π-α）= -sinα `liC3fY,y  
+ 1Us.  
　　cos（2π-α）= cosα kFc`6"b  
@QaKI*t  
　　tan（2π-α）= -tanα vgPh0 r*m  
i IWF$/MK  
　　cot（2π-α）= -cotα _q)d 0 m?{  
V^b%h=$V;  
　　公式六： OM~5@/5  
}/9g?k yi  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： `Pw8)Rynr  
jwK")Qn1F  
　　sin（π/2+α）= cosα KWWWkU  
~86-W Sq  
　　cos（π/2+α）= -sinα ~uu^&Pk1  
5*<~f  
　　tan（π/2+α）= -cotα <R:<  
)3Ew;o DH  
　　cot（π/2+α）= -tanα w*SL*!AGl  
z]hpvF$O  
　　sin（π/2-α）= cosα Ih :a5>aK&  
,9|fO.QIhZ  
　　cos（π/2-α）= sinα QJ(0kO  
x[zqlz){3  
　　tan（π/2-α）= cotα xhMg]0"}*>  
n"*M%|!vy  
　　cot（π/2-α）= tanα 8m*@C6=  
?tQ;+ko9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα ~*Y(:Pe  
aP'^4k`  
　　cos（3π/2+α）= sinα <Jm7{R< "  
]-ECpk  
　　tan（3π/2+α）= -cotα /G9j4/@-*  
A9\tP#j  
　　cot（3π/2+α）= -tanα {98LifF9  
(s\]$  
　　sin（3π/2-α）= -cosα :`_{CfU/  
G!3b+ Z>  
　　cos（3π/2-α）= -sinα i:2;<  
JmD1)@ dy  
　　tan（3π/2-α）= cotα RE=.`/9$  
;-]ytfp=#  
　　cot（3π/2-α）= tanα aRvZjK {  
6}25-'*  
　　(以上k∈Z) p:>GD,  
G+_BdWC-  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用  &I(iz}K  
eic+j0-  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = !vwKo2rI9  
WW@<]`yg  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } DG Z%  
0 #~$Np  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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