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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  ?t^2+  
aV!M`T4k  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. z\bi;M  
K[7j#]Tm`  
　　1、三角函数本质： ,# )  
m{1rDV.4a  
　　三角函数的本质来源于定义 vxtC-sihq  
3F9G)N  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 @[i&.g  
hA YFXim  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 GYs]Ww(S  
') \f_[  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ,8IRB{Ml|  
Pq 6& AG  
　　推导： ;i0,)Ly  
C6(0[bj  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 'dtuHXG_x{  
aSP{[P(U  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t)hBt!ke]  
c&Q$FmO4S  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) G\u8U;  
>GZs/  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 lD9"|yW  
%Ew`]  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） /Ob[ bN5w  
Nxb .b  
　　[1] }[*XN  
X" QmH>a  
　　两角和公式 |"G F}p}  
Z r;sRH  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB &v'-$1b  
?4Ep6%U-  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  &7ZX g|#(  
$a8cX3 A  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB W% C:#=P+  
80cGhQQBH  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB vk8fU$35  
; aNek 0  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ^l@8c G  
)0M*A?9d  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) j<Cy;VV  
2Tnt+Z_  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  -V:oP$x-Y  
Y!_SH$  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 3 |?   
'+(hot  
倍角公式  ]k0y<  
CC<X5 Ik  
　　Sin2A=2SinA•CosA Hd]yT[@g  
W|8scI .{  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 BR~ItrA\  
rp\Gbs  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 5%Z>DQWwN  
tY^M)l%  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） [(vl*+~B  
{_Rx"C}m  
三倍角公式 X|Six_s  
?MX_8i"?  
　　 $EQfp:=  
A'Q$Ks2^8  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) LK'2-$>N  
I -nlv?  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) qIj   
e^CO_zYj  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) +O;MIzQBJ  
U2Ht "S|v  
三倍角公式推导 uu#`K$5  
LXIjTK  
　　sin3a D`eOR'O^  
t5oJ 3B  
　　=sin(2a+a) HYP$[Ctd1  
5.c*p}W:  
　　=sin2acosa+cos2asina ~R*b\p*J  
0']d+z!T  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina ["Y j!  
xFYn`&R+ ;  
　　=3sina-4sin³a gY 5"aM%  
~j62-U{  
　　cos3a vKN!ePIe  
m\*=\ZM  
　　=cos(2a+a) UC[Sxs=  
7$8d n;  
　　=cos2acosa-sin2asina frbmgD  
5|8a$_n  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \^X6z{f  
5FjvtYV$  
　　=4cos³a-3cosa P.~ai!NA_M  
il'lA1_X  
　　sin3a=3sina-4sin³a -& %3'h\  
a0l"y2  
　　=4sina(3/4-sin²a) Xh"g%uB!  
/mixKGR{  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] y^e'f mA  
o`WX! #  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) R#&{1ajF  
k lQFNo  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) H"4x"? e~  
pt<jPez.h  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [R_cUX [  
C 8"zqgW-  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) TG*\U>fU+  
e;UI#i2Y   
　　cos3a=4cos³a-3cosa >[!tXOh=  
M+0V/z5a V  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ' {\Ic  
cZ@(rArk=  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] zEE eq(R  
B3 _%B  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) UskjE |)@  
jn!^9  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Bx-5]8 +  
p9mQ`L  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;cxR::|  
nUx&*|c  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) AV  3'&  
7`G|rGH{-  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] wU-,!  
g1_/;_ra4  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] iUvebl@7$  
{}Mz,9 xh  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) |T+~G(dq5  
45HRHm F  
　　上述两式相比可得 +f#@=  
"FJ{NH;7  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) K"i'!$l)o  
Cr= )tK+>P  
半角公式 i#B6aQ?  
sa@bVu  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ]M1a3  
!:6 oS+,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. }L; yq:3.  
)&7?]l0  
和差化积 eE(=@Ii  
Mi2"t7vX*  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] _RTb,z U  
2 -"   
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ]i</Ncr  
O:fI9g8[  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1'.flo)y  
mi0<T  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Wj7/g@T6  
@ <f6wm  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) f`G L9Mh  
K,|2wU,  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 2@3Z&w|z  
~I rj7O@E  
积化和差 M. WI%  
'W+ y 6I  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] U ?Y%w89  
83z(]vV  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 8m+{=~ 3w  
@ *3 hs  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ~Y( sAF!U  
vwE"}!W  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] }^23)&4'  
muo? e   
诱导公式 Wq@$#Y 7,  
Y-`4n3   
　　sin(-α) = -sinα 2aTZ[P_#X  
ND|y- -{  
　　cos(-α) = cosα kTP W)  
0Z&Wh,  
　　sin(π/2-α) = cosα CzWubJM33  
>~<.WWe?s*  
　　cos(π/2-α) = sinα wN<0 T.'@  
::'#n>) d  
　　sin(π/2+α) = cosα JrQZo( ^N  
f1( 2cxj  
　　cos(π/2+α) = -sinα ouU&EquW=n  
wg=CipE~  
　　sin(π-α) = sinα ?T=P ymAH  
a  =GFxv  
　　cos(π-α) = -cosα R2dJE{nxwd  
T#pJ`D7  
　　sin(π+α) = -sinα Gu+Dl%ac  
O3;cq:H  
　　cos(π+α) = -cosα CE*GsNXt-  
M8y6E2PQS  
　　tanA= sinA/cosA  H{3_y  
u1WOks%  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα L'eX^%8z  
KmKv/ppw  
　　tan（π/2－α）＝cotα hlJ{C{oX  
O'WWqfR}  
　　tan（π－α）＝－tanα > ,y.p'  
c1bg,3_'  
　　tan（π＋α）＝tanα *MMqNF#|  
`3NhF-  
万能公式 ->'~` 0  
L~"n;[pTp  
　　 7IEm:k.`  
9w hOP  
其它公式 r    
2{Q2d%3  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 4^SVNuH  
:b=gf0cQ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 'j.uwLE7<  
HFe. >W<  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 6j^ ~G)^  
:Gt*dc{ a  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 {T$W!$  
\GK=n@(X  
　　对于任意非直角三角形,总有 .^w  Tl  
Z_ dI =ox  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC #[9["$N  
qH1owd.5  
　　证: #j\r#+% >  
sp#o7op  
　　A+B=π-C nC"fpM  
}:Q0XO*o<@  
　　tan(A+B)=tan(π-C) UJ6Q  
td=Oc7t-  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) =;>2/mR-  
|4@b9(*  
　　整理可得 u%'uFI#  
'zj -  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC EIc 'gn>kC  
;Z8`` .  
　　得证 KnLXQ]4/v  
n/q:ESps  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 c,p 4 jP  
[.\;:^  
其他非重点三角函数 h9=:,NwU  
1M\y v|5  
　　csc(a) = 1/sin(a) fpRb} Uk  
M:G~1>FHu  
　　sec(a) = 1/cos(a) "1mv3Td:S  
rpC[~8&  
　　 4YT 4*#  
D8jgIS  
双曲函数 6{_j+{  
?9 d.h~X  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 B/utsC6  
f]uxn  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 inoQjEJ~  
o"LuZ1:Uf  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) =%0kI>P  
u|(2n-  
　　公式一： 5[zY7  
Y7+C9fS  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： #=_H &_jP  
9G V*7{m  
　　sin（2kπ＋α）= sinα -Q5K\ "(A  
&9O"*=#f  
　　cos（2kπ＋α）= cosα +zu'~#Ty  
[P|GhH9  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8jhO\}mB  
YK tl  
　　cot（kπ＋α）= cotα sfO9[BI)%  
4reJDC8T|  
　　公式二： X#IvF\_W  
=~WxZ.F;  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： n=}(C<a  
S'$5,} /X  
　　sin（π＋α）= -sinα ydyn\/iR  
3wY W  
　　cos（π＋α）= -cosα &5n!iI!  
, y^V~|b  
　　tan（π＋α）= tanα JmH!)K1?_  
wzao*]'I  
　　cot（π＋α）= cotα K7~3+(!Zt  
m<#>RG[WI  
　　公式三： :0\o^"[f8  
b,GC!xKt.  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： F)Ej[4h  
ycvj&`j  
　　sin（-α）= -sinα E|{<YK  
5qW;M3-  
　　cos（-α）= cosα n|EB!PH  
^>ky&eb\  
　　tan（-α）= -tanα .{RmgWjhH  
_ Q et7L  
　　cot（-α）= -cotα t-$?f O  
^A&e` c  
　　公式四： X;lGo|  
2jrG$^k)  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： wxo=v %`(  
K#sHR fe  
　　sin（π-α）= sinα Xa^&| |?@\  
*^o9p$m %  
　　cos（π-α）= -cosα "GhUi]Je4  
bY A/XKv]  
　　tan（π-α）= -tanα 9 <,n[&Ug  
ViG6&&~[  
　　cot（π-α）= -cotα Vj_znq#  
_P+O P7  
　　公式五： z]h+]$q  
F\v]Qt  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  /`Z^  
Mx4S qm@O  
　　sin（2π-α）= -sinα Mw8'/~<8  
IbfEx]u,  
　　cos（2π-α）= cosα (T42f**  
kdZzz+~F  
　　tan（2π-α）= -tanα t]}--F^!  
1}n]O/cYr  
　　cot（2π-α）= -cotα c#Z5icG\  
zl`3`6j-  
　　公式六： #Sl;WZ~&  
mwuIE<'  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： u\:M?E  
]@Kyc}  
　　sin（π/2+α）= cosα *|;+l0%  
<.eD42 f M  
　　cos（π/2+α）= -sinα =FN[R1YG  
%_|RL$|o  
　　tan（π/2+α）= -cotα h@[%(k$#c  
oNm??>L00  
　　cot（π/2+α）= -tanα |uuu.0C  
A'wnA"(5  
　　sin（π/2-α）= cosα n#4t=;  
fzR5Z : T  
　　cos（π/2-α）= sinα ;"{v%d4S  
FMQxIDj  
　　tan（π/2-α）= cotα 8_iaQT]I  
|x#Ahjj  
　　cot（π/2-α）= tanα X}$ zJw:j  
@rx3,KYu  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 4F0vz21zK  
f"l8 m,/Sc  
　　cos（3π/2+α）= sinα I}+$K  
(jfBPNCAm  
　　tan（3π/2+α）= -cotα S/PcP?o  
cZ'mv=yo  
　　cot（3π/2+α）= -tanα !0&MUf n  
&> 6F  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ^;4b:cu  
UzBLyu7I  
　　cos（3π/2-α）= -sinα hU,/   
HwvIox4Lt  
　　tan（3π/2-α）= cotα O5}xR}Te  
h0Wg;GhN  
　　cot（3π/2-α）= tanα @%2^N}KY  
e?J|b3]@<  
　　(以上k∈Z) $fQ^O ,|.-  
,{2l@c   
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 jQFdU  
q/`dY6Z<  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = d%9 0YE'  
:;6_!81q  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } JW85h ]D  
AB@zJt,Bn  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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