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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 x0MQ+{?u  
eBWdjsnt  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. PCpG6gwa8  
bU< %YP(w  
　　1、三角函数本质： aeeBYB[},  
dog2~=YWc-  
　　三角函数的本质来源于定义 QI !P'  
1K!g t  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 JH&*kBL  
/IZy]6vu  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 %YHg^U%k  
x/eI"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~Txv!ww%  
XCox6U0"  
　　推导： tWLI6r  
'^A c3X  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 =mvgO [+  
b< kvv  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) aa9Pk? H|  
y]m#G'!c  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) r2n'xx|^W  
btS5@\5  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 G=k9T2*(TG  
I]ynI  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） N,x7po%6|  
Gj!J7IF^  
　　[1] ny `.0frx  
Sa 'f:<*  
　　两角和公式 EH-=Xv6Cu  
kJT|vC  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB GB1IkS  
uA<clMI{  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  F`(jEf<M  
]Z,{0LX A  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB E9wXM6 *`  
X![8VM.  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB zGZX t#Po  
]z*v\-6Xp  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) o;(&@KTD  
Jy 4X=6ltF  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Hl~OaAl  
FFuUc p  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  IRq^w3O  
te22Qp/  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ~KxTf=4zA  
fr^$)L H  
倍角公式 F _L1[.h  
+C"e~r  
　　Sin2A=2SinA•CosA EMK5SZrD  
k')B0*u_t  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 k[@U(8m"G,  
B|=_;"J  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ~Z& | e#L  
$JX^T6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） LPqFkV Jgo  
M.zT,I,  
三倍角公式 L1Wo: 8d  
G(wpg  
　　 uI\ c"A  
A_kQQ@:  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) $L6;La  
EN+kfkDt  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) D(WQce4J  
L 1se|P  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) R )>:*d  
cG##72/>  
三倍角公式推导 p Z6s{5<rd  
DQH_KF K9  
　　sin3a %-J; &*>  
 /AVNV+F  
　　=sin(2a+a) x00NG  
S' >jm,G  
　　=sin2acosa+cos2asina `5j<jN-   
Y^BSLvWUVY  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina $A .TslG  
amo E5L  
　　=3sina-4sin³a +4 /F<32c  
/KHk#~a  
　　cos3a IIl*MGZp  
l3H Cv  
　　=cos(2a+a) %@0 :J~|  
jJ*OKG}VO  
　　=cos2acosa-sin2asina rk%_ah"  
!8 9 1d  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa iH/[c[J}V  
vNX!HB>xi  
　　=4cos³a-3cosa g>~k@  
h{: @z  
　　sin3a=3sina-4sin³a 2[Ww   
q6VU8#,v  
　　=4sina(3/4-sin²a) o#5u>B1D  
FL2L(,@ra@  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] (Nz un?YPC  
?/ yxI  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) [fbyD#&45;  
NEdy{kZaQ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /t "Sq>  
?vc<8N~>  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 6VJo 5Gb+  
vIxe2ST  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) .\jQ\hR  
MZ mpO?l  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7oKC6[fk  
H_Z"j W  
　　=4cosa(cos²a-3/4) G F(!U  
r j{<ES%  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ]Q)z3=#  
Z e\RB'  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) v;Fg>Cm  
 5 IWQY  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 6e$-4{   
iJ:_n8s]Z  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 3]- ^OB  
S}0"p'  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 3i- WInI  
~E SXm  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ]aqxR?V  
8&wG$H,PZ  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 3,8CBr._  
)XeiI&.s  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) :dzwFr>)O  
J Y\fV.Fwg  
　　上述两式相比可得 osLS; Hr  
+ 9 7o9S&  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) nX`X=YVl  
|r.xfF.  
半角公式 2Apw/  
{cGY8T~  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); `"Td?y  
Vez<  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ym_V0,zG  
M VH>k/.  
和差化积 m% :k(iU?a  
>@kHT44A  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] M?HoI0wN f  
QDa=! h  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6b+2:c)o  
>{#GP[6G-  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] I-l^y>I@W  
2<[hN F/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 0:cqsN  
eOcZTF8  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) L7-|KmL3  
@KRokB3  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ST; .   
:* ex'?M  
积化和差 w!n/Gk|  
RK e^nw  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] nf=w~9jc  
JP2.+tx+  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] PF)k~Qqke4  
EB2\&'cW  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ;`l%5 R  
:po\UFl`  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] >QfE'  
qbgk[VMH  
诱导公式 wly5{M7  
5/)\[B >  
　　sin(-α) = -sinα JX2TZ?d{X  
gIIDK0iJ  
　　cos(-α) = cosα um:2i"x0  
76B9HAu#  
　　sin(π/2-α) = cosα ~srG$ki.  
nU?&._-6{E  
　　cos(π/2-α) = sinα g&7b2Jv;  
AnK!~"P  
　　sin(π/2+α) = cosα G 6"U(z  
k,Zk  
　　cos(π/2+α) = -sinα _uEY!NBF`  
Q6>CKtY/;  
　　sin(π-α) = sinα KOIUjMa>I  
h*mn2[@$  
　　cos(π-α) = -cosα 1>`2=Y1B  
b)R^fX  
　　sin(π+α) = -sinα 1QUz  
h},* wXcO.  
　　cos(π+α) = -cosα {$)%C^  
kk= *vY  
　　tanA= sinA/cosA zV2B|*j@  
v<jpr.  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ]7v#>+  
Pr(X(y!"}~  
　　tan（π/2－α）＝cotα / -2kNZYF  
_Ru)FJa/  
　　tan（π－α）＝－tanα xX\"sc$H  
/@yjTVyt  
　　tan（π＋α）＝tanα 8EABoL  
<~oxYIA  
万能公式 v B5c/g  
X,3>I;y  
　　 #X2{~)D":b  
4 (d.{|;P  
其它公式 `c ;*XGFfj  
Z"K-|n4$  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 m|{K+?R  
92 U<ST6  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 nsdnMD  
teH#tIHe  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 tc=)i   
:hosEFGle  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 >irfe'^SX  
@b6`8"sn=  
　　对于任意非直角三角形,总有 ';@_?Hr  
`mz>tK#%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC m#3^!+  
%iG1 a  
　　证: UIV@aGH (  
@5iV7EJfYy  
　　A+B=π-C cKn4Ekdl  
zeQ%iSd  
　　tan(A+B)=tan(π-C) |*c (%ms  
3?2J/  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) fP yq23e  
uhZt+  
　　整理可得 p2ma m^!j  
dSt9^9gg+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC `O%48=8{  
/C76 &C  
　　得证 $Z9"<L  
s9itOF<  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Y<p81KY  
QIq2%M#4.S  
其他非重点三角函数 &o KBA0N5  
[.^D&v$&u  
　　csc(a) = 1/sin(a) +LBxrd  
paz_v  
　　sec(a) = 1/cos(a) sT>yy(B]  
Lu_<I  
　　 $u<EdQ*(  
06NM}02i"  
双曲函数 9\R[i;i'l  
_aw? f  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 #AV REV  
%H{U(H2  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 {=4eB@~.  
@ 7zLR)ql_  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) n9,N8 UZ  
nlI@ma0d  
　　公式一： );HrE_  
@VvITD4  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： EuoQBvXl  
] y FE XJ  
　　sin（2kπ＋α）= sinα SC)YQz*)  
/=v^~<  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ]^ a~x|3  
|j+4\?]H  
　　tan（kπ＋α）= tanα hZ9w>,V  
w_GcS6rs  
　　cot（kπ＋α）= cotα %3m0!~5At  
z-l:,  
　　公式二： > P=eFl  
=[ vSV#ZEU  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： 2{xj=Um6R  
Jlf0f:$U2  
　　sin（π＋α）= -sinα l ud8X@  
:0g`W6 od2  
　　cos（π＋α）= -cosα Irpn/VWLy  
s!pkmZ<  
　　tan（π＋α）= tanα Rkf.y@  
#:Kz7  
　　cot（π＋α）= cotα a)&G a=y  
Z5q@|l}c  
　　公式三： )=78;S?  
T3sGH  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： r"0V. T  
1FXP\ r  
　　sin（-α）= -sinα Ja+y=n_  
-vMjb#s$}p  
　　cos（-α）= cosα o!~H6rvo  
<TAU@@  
　　tan（-α）= -tanα ydWc"/!`  
_$ 8g`/3:  
　　cot（-α）= -cotα zgbhK i4=  
i+.%1><  
　　公式四： ' u :0}  
 a)-_i!x  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： vI^?SxIVS  
9M < u  
　　sin（π-α）= sinα `Id`Q;b}  
./ Eo~i  
　　cos（π-α）= -cosα Z5wJctcxL  
rU]$y)n %  
　　tan（π-α）= -tanα %E)Mm8Pz.Q  
s1bF ~0  
　　cot（π-α）= -cotα `BY2wl=/  
6J# k8  
　　公式五： 3sAbuD  
hh7"""g  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： [~m!kb3*sB  
*&7G&  
　　sin（2π-α）= -sinα Urj:X5 .  
-Pk TV$Iy2  
　　cos（2π-α）= cosα ?sb2ogLu  
o[A|6P;U  
　　tan（2π-α）= -tanα lez_ >NT-  
%yPA  
　　cot（2π-α）= -cotα bWw)L5qk  
8AT4LU^l  
　　公式六： [:!}D]"]  
n82(-Kr  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： pmH.t   
ml~b~;":)  
　　sin（π/2+α）= cosα on@Ba$D6  
b`VcdLIT>  
　　cos（π/2+α）= -sinα L5t/ %.C|  
1K-#La%  
　　tan（π/2+α）= -cotα {,WTs208"!  
>#$k|nz,  
　　cot（π/2+α）= -tanα Dz,O'PJ?2  
+Q,^U,Y)l  
　　sin（π/2-α）= cosα |w6gEQj%ID  
4x.zEg+x  
　　cos（π/2-α）= sinα I52evFp  
#T: Sl])  
　　tan（π/2-α）= cotα ,S%WuDL  
1Ol]P[% u  
　　cot（π/2-α）= tanα -|Ii+A  
MO5c@I  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 9(8:FrC  
.SeW)/#!  
　　cos（3π/2+α）= sinα H";'|~{u  
jxbl*t[6A  
　　tan（3π/2+α）= -cotα O? o ;p}  
%skjkX8gr  
　　cot（3π/2+α）= -tanα xrR +  
/=-*O[dZ  
　　sin（3π/2-α）= -cosα TVS_9U)  
g+e=!eH6  
　　cos（3π/2-α）= -sinα 9{cHJN MV  
SCMr9[)o~M  
　　tan（3π/2-α）= cotα vThv=G6P  
?y H_/`y  
　　cot（3π/2-α）= tanα <VLT# J?g  
0xTrb Ke  
　　(以上k∈Z) v.14ydN4  
Hn6F|t^[  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 `^'[fU2e  
*}-}Go9:  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 8TAinD  
!'{,z{/L$  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } S,>m6B*6g  
CXa?sPb_  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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