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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ~frE2&G~c  
0|9{aYV  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. x:Siq  
EME5XJcn  
　　1、三角函数本质：  FaAy)t*  
Ol)>HWM,So  
　　三角函数的本质来源于定义 a5)K0["|  
\rba 9  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 8ICG1!D)  
)~,C_^$px  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 pnQ 5_~@6  
Hd>E&ESFw  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： l=.f8  
8d~8B){  
　　推导： bdwL.<.(nN  
T9(97m/  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ~To9j JL  
Fc: XO[3\  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) qYgyXGZUY  
!?$c@O*f  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) m5H i~sv  
DG{WkkH  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 {'<rMg%T!  
Oo V0t=?`  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ;07d~%DYip  
P:'J]s2  
　　[1] <Z r1pw/w  
-} \ &+v)  
　　两角和公式 fV+e-W V  
!8z9kKSC  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p/Rp0x>  
=1UL B[  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  m&jh3ZRF`  
o!y>nV  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 6#{6  
v4jALB",[  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB l Fpa\B  
GtsW(yan  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) lXZh>~/O  
23x?VT  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 5~3qfEk  
 dumH&  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  u9\d1Td U  
qC D7N%  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) jo?@>v^x  
X 9f$7$ac  
倍角公式 .0 ,`BB  
N >f/Za  
　　Sin2A=2SinA•CosA cu_- G\|C  
}<D`u~xAQe  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 D0JbD"{  
Zg/+XqH(  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） hr@jS34  
`^6Z#  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） B L<*76  
OtD:8FL0  
三倍角公式 6#LRLJQ6  
B\|y<,z  
　　 :t-9nWT  
f caO  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) YVey~S_uWY  
NrKrg  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) pu7#Kgk +  
k]TTh+)|<.  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) }s<|m1g@$1  
'TOt!g6/c  
三倍角公式推导 ^NiwKa~)Q  
9dt]=EDi  
　　sin3a Yr:z &h  
a)nt%%  
　　=sin(2a+a) Kf!j<'3u  
-_<Q@7^  
　　=sin2acosa+cos2asina p$n.,xoh  
hk-)r@so  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina  Dt|G  
zY.[d`4g  
　　=3sina-4sin³a IHz%m^r8N-  
W.~RM#n0;  
　　cos3a M8s.u;X  
O=Y>5^  
　　=cos(2a+a) K^wp5T}`6  
y$:/N<{|%  
　　=cos2acosa-sin2asina f7jp{E>  
=*k ~5v@  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa |!}_"sJK  
;K, ~#z  
　　=4cos³a-3cosa 38ZI6Gji  
Kw,{Fdh  
　　sin3a=3sina-4sin³a 6.^V8 Mx  
;< |?K M}N  
　　=4sina(3/4-sin²a) Y2|(Y&  
[rfb}6  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] [Tt`F%Go  
 xp79D[|b  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Pl<CJgXKD  
>TWjpeW.  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) 5DAv{Ik  
H`cl)\  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] KCM)V  
Hbj7#*[Eq  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <v7<k%qN  
nP2  
　　cos3a=4cos³a-3cosa q"y6}|`dW  
z'_sN lR  
　　=4cosa(cos²a-3/4) dq oMn7~$  
\9+mk4  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] eJD {7!Bv  
~%7S4 Y 7  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) wop=,vEsa  
X;@(gt]  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) P$p~O ^c  
\+S]Tr<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} LhfQA~q rP  
G{ =\'  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) o,sK4[ E  
rH+IFkX#%"  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] "h= ? !  
+yhXxyn  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] '.uo5[zL  
X89-Tig]  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) d;# wv)[  
@Rs6]$@?d  
　　上述两式相比可得 H (EH]  
)<|Am7"(  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) z/[ )oN  
a;gbra  
半角公式 (9k\5'vET  
`Jdk5 www  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Cq\v0k`  
-Oo0|0S  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^;W"t;_u   
(tU)~iO  
和差化积 Xi<Dh\pMh  
(.M lq O  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] |j*]zF  
E+naEP*pX  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ;Gq@FakY  
M )3-&kP  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 06l-s9%sA  
wTH;by  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] I keC|E\  
lZ89l]r=7  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) lf 9L=@  
PR8@+  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) -YN61X0~P  
v@F'vDlk  
积化和差 Zt5n[  
Qh<u#x%]3  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] v'AZYrEr   
5!G# &Y  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 8$T>j5Dd  
Fcbm _  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] I " P,g  
n[_*+[?  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] x{NwVzax  
~b0PoCP  
诱导公式 aPU/#*n  
`>~: ,cV  
　　sin(-α) = -sinα EIrjyDH"tt  
]aw jUrY  
　　cos(-α) = cosα f4>hBV1   
9 mSL~9C  
　　sin(π/2-α) = cosα VTuxu]Ty  
m8[e&":__  
　　cos(π/2-α) = sinα Gw{8l4#  
U8^+p^f_  
　　sin(π/2+α) = cosα k\zf5;/  
#bJSI  
　　cos(π/2+α) = -sinα F  K!X  
xhuN?kv*  
　　sin(π-α) = sinα NQS[[c  
`pg @)kC  
　　cos(π-α) = -cosα P]ey_F  
#e_mKB  
　　sin(π+α) = -sinα h7tAngk\1  
Y=/h\C  
　　cos(π+α) = -cosα xF8IkgZ4  
o8FaYS)1f  
　　tanA= sinA/cosA 2E\HHRt  
!JKB?.8x@  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ;z?9s>w|W  
-l%TU#  
　　tan（π/2－α）＝cotα /9 AEy2  
Fyw04%k{  
　　tan（π－α）＝－tanα (+$Ot{>J  
(2.?!P,  
　　tan（π＋α）＝tanα <}Rqkm9<R  
cO)b0@qgx  
万能公式 (xnAG#)  
>| 1 ](#  
　　 Q\&k4c$&  
>U!RO X  
其它公式 4ZwUPeth  
A|7d@!%_  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 x-X9a{Bg  
yyG243sMo0  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 Dr'}4J()  
G[7#mh  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 T*c0>KLI  
,rE<- +,  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  -( @!3  
ujAT)"  
　　对于任意非直角三角形,总有 (6b^qI@W  
W9JqVLsI  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC y [{1s~u  
t,F)AmcSC  
　　证: CT &WSEr  
\4e38<Z  
　　A+B=π-C \?/=@>  
IjajS*ow$  
　　tan(A+B)=tan(π-C) z'_u1wS(=+  
c5Nl"w>rn  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) </i&_eXA}  
?1ajE#Z  
　　整理可得 =6B@7ol#  
G`*~LGmp  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC FLZq2cS&Ro  
GsUaj}  
　　得证 jJ=_>ndp  
Tq-*,  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 H-Fbimp*n  
RkQR KI%  
其他非重点三角函数 h{ ko&)  
JXaPx!  
　　csc(a) = 1/sin(a) JO]&c2?b[  
Rs,oFM/]lB  
　　sec(a) = 1/cos(a) 7[ Cyh  
0 Qq2pt$J  
　　 Q #.(   
<lxo{ 4  
双曲函数 F7?5T^O4  
0IVWZ*  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 F$~~X!  
ixUpT;4#  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Mu{C^=  
`TbA>  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) "Qi06$*l  
Gn/Xn>r-/  
　　公式一： )8:-0n G)  
H 9poy  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Zi {Ep+$r  
1FmY,; &  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Y5 TrGE  
Tzt"9H1QT  
　　cos（2kπ＋α）= cosα L<!_xP0VVc  
2/`NaX4  
　　tan（kπ＋α）= tanα E.:/&q_  
`1sW8(Y  
　　cot（kπ＋α）= cotα <dXGy}y?C  
#= Gzh  
　　公式二： _W1"0   
`i57}NCb  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： C}w[lNC[<'  
Go*FC{O"  
　　sin（π＋α）= -sinα :4zuW#sL  
5$VR!; G  
　　cos（π＋α）= -cosα =FRN@`E  
`h`Zpn|75  
　　tan（π＋α）= tanα <#rXo  
z&h&d{sI  
　　cot（π＋α）= cotα %(+-_|fhw  
w/acv8  
　　公式三： b\s Qz *g  
MxR@Mtm$>  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： h5TOb  
W*b % }  
　　sin（-α）= -sinα !XZW99O4  
>R :_>.GW  
　　cos（-α）= cosα Gwc5-X\l  
?A ^ nH pN  
　　tan（-α）= -tanα I{ $8I0F\  
N2m|\DhyC6  
　　cot（-α）= -cotα A~|F G  
h2r jb V~  
　　公式四： ny_T&  
? lzjvBn  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Lj])e   
;tZ0u]j{W  
　　sin（π-α）= sinα =) 7O'>5EW  
` | ) taC  
　　cos（π-α）= -cosα t pY9x&  
~ z@K35  
　　tan（π-α）= -tanα -dKP`n &5  
uB3G B> |  
　　cot（π-α）= -cotα ,yM :%hes(  
8L+=rII  
　　公式五： J=D5 >v0  
Gt7D[B9SS?  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 0( 3^  
3`8=`[nV  
　　sin（2π-α）= -sinα :H@F9w83D  
ENyEIs0  
　　cos（2π-α）= cosα c;2d/u.2Nn  
D#@n U}<W  
　　tan（2π-α）= -tanα \s _{k'8  
Vj(2]+)D  
　　cot（2π-α）= -cotα W4-%lUd:z9  
}]T]9R  
　　公式六： {%{/M@~a  
1 8Avzt  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： P4m ? K  
V4~NeKUnr  
　　sin（π/2+α）= cosα -BC);@?  
DX5coZ  
　　cos（π/2+α）= -sinα v-A :+z:NV  
kAqEJ i  
　　tan（π/2+α）= -cotα d'*VKd;xu  
B=0aF':  
　　cot（π/2+α）= -tanα /`p6whs  
}7@r5=&83  
　　sin（π/2-α）= cosα :I5NV Kwb  
J'r%%1`  
　　cos（π/2-α）= sinα `GI|#g  
eJF}imN|U]  
　　tan（π/2-α）= cotα Z+6ST=v*d  
^Hmw;~  
　　cot（π/2-α）= tanα w|)MU@j-qc  
l?:zP 9  
　　sin（3π/2+α）= -cosα I\LE)3)`+  
%K! JNg  
　　cos（3π/2+α）= sinα .ue|[;w  
Q% w2U[oH  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ($K)\"bA!  
g $1F5Ffn$  
　　cot（3π/2+α）= -tanα rRe'K[t  
q`}AR[0r  
　　sin（3π/2-α）= -cosα U48UjQE)  
E0qxzRBV~  
　　cos（3π/2-α）= -sinα #y9[$V.Ve  
>U%5tX)  
　　tan（3π/2-α）= cotα ShTNAR*|e  
6NW\KULYT  
　　cot（3π/2-α）= tanα Z}JMMtRU>  
bV3m8boeO  
　　(以上k∈Z) 90H2 E#  
E@.(oD[  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 cTem1)P  
r#~AZzW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Q>hgeqW'  
c)vCW CQ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } gw]M?F Yy  
I"ECH8c  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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